Unity3D for VR 学习(6): 再次温故知新-3D数学

   一年前,系统学习过3D数学,并记录了一篇博客《C#程序员整理的Unity 3D笔记(十):Unity3D的位移、旋转的3D数学模型》。 一年后,再次温习之。

坐标系:Unity3D使用左手笛卡尔坐标系(Descartes coordinate system)

  • 世界坐标系(world space):在一个游戏场景中,唯一。
  • 物体坐标系\局部坐标系(local\Object space):每个物体有各自的独立的坐标系。如桌子的物体坐标系中,扶手相对桌子腿位置。有时候,不需要对外暴漏太多细节。
  • 摄像机坐标系: 特殊的物体坐标系,用于定义物体在摄像机视野范围内,即那些物体会被摄像机绘制出来。
  • 惯性坐标系 (Intertial):一个“临时”坐标系,为了方便从世界坐标系到物体坐标系的转换,引入的新坐标系。原点和物体坐标系重合,坐标轴平行于世界坐标系。

image

 

 

Unity3D提供的有用的坐标系转换工具:

1 RectTransformUtility

Vector2 WorldToScreenPoint(Camera cam, Vector3 worldPoint)

Ray ScreenPointToRay(Camera cam, Vector2 screenPos)

 

2 《Unity3D项目实战笔记(1):prefab的插件方式

下面代码可以使得:a.prefab被加载到了A的子节点下面,要使得a显示b点位置,一个办法是把a挂接到B下; 另外一个办法是用transform提供的2个方法,转换局部坐标为世界坐标,实现动态定位。

Vector3 pos = A.transform.TransformPoint(a.localPostion);

b.localpostion = B.transform.InverseTransformPoint(pos);

 

向量(Vector):  有大小和方向,没有位置

任意一点,都可以从原点开始用向量来表达,这个也是点和向量非常容易为初学者搞混的地方。同时,因为向量和位置无关,故向量可以在坐标系中任何地方使用。

  • 向量数乘,添加通过标量和向量相乘来实现力的系数调节
  • 向量标准化,大小为1的向量。亦称”法线”
  • 负向量,和原向量大小相等,方向相反的向量
  • 向量加法,向量a和向量b收尾向量,从a的尾到b的头的向量。
  • 向量减法,雷同向量加法。
  • 向量点乘(内积),结果为标量,描述了两个向量的”相似”程度,点乘结果越大,向量越接近。

a.b >0: [0, 90), 方向相同

a.b = 0 :90°   向量正交

a.b<0: (90,180] 方向相反

  • 向量叉乘(叉积), 结果为一个垂直于原来的两个向量。

矩阵(Matrix), 这里主要是2*2, 3*3, 4*4方阵

DirectX使用的是行向量,Ope6nGL使用列向量。方阵的行可被解释为基向量

线性变换保持直线和平行线,原点未移动;包含平移的变换称作仿射变换。

变换物体和变换坐标系区别:变换物体,如旋转20°,意味着物体上所有的点都需要进行重新计算,被移动到新的位置。而旋转坐标系时,物体上的点实际未移动,只是在另外一个坐标系中描述他的位置而已;有时候使用变换坐标系,可以节约底层计算量。(例如碰撞检测,需要涉及的物体在同坐标系中)

线性变换,不会导致平移(原点位置不会发生改变);放射变换在线性基础上接着进行平移。

矩阵的行列式,结果为一个标量。

正交矩阵,如果矩阵是正交的,则与它的转置矩阵相乘,结果为单位矩阵。同时,也可知正交矩阵的转置矩阵为逆矩阵。

正交投影(降维操作),也称作平行投影。3D投影到2D屏幕上,该平面称作投影平面。

透视投影,投影线不再平行而是相交于一点–投影中心。类似“小孔成像”,投影是倒着的。

欧拉角,使用三个角度来保存方位:heading,Y轴,(-180,180);pitch, X轴, (-90, 90); bank, Z轴,(-180,180).

四元数(Quation),用4个数字表达方位,避免了欧拉角的”万向锁”、Slerp球形差值问题。

 

参考书籍:

赞一下,暴风魔镜4 + 小米Note顶配2K屏,具有里程碑意义,能连续玩VR 20分钟以上

分辨率好、陀螺仪好。

相比之下,千元机魅蓝Note 2就是个渣渣:远离千元机,如果你玩VR的话。

VR未来,或许能圆一个小小的遗憾:5年前曾多次出差哈尔滨,刚好有冰雪大世界,心里还是蛮想看的,但是因为畏惧寒冷(-35°的长时间户外活动),故未能出行。如果能通过VR远程看,则再好不过了,呵呵。

Unity3D for VR 学习(4): 自绘摄像机的视口区域锥体

 

     在Unity Editor下,当选择Camera组件后,可呈现出Camera视口区域锥体,非常方便。但是当选择其他物体,如Cube后,就无法得知是否在Camera市口区内了,这里我找到了雨松MOMO的一篇博客《Unity3D研究院之获取摄像机的视口区域》,他用Camera.fieldOfView和Camera.aspect算出屏幕比例,然后再得出width、height(摄像机)绘制了四边形,非常酷,可以解决这个痛点。

  我在巨人肩膀上,做了一些拓展:

自动获得Camera的farClipPlane和nearClipPlane

void Start()
    {
        if (!theCamera)
        {
            theCamera = this.GetComponent<Camera>();
        }

        upperDistance = theCamera.farClipPlane;
        lowerDistance = theCamera.nearClipPlane;
        tx = theCamera.transform;
    }

 

连线far和near ClipPlane

void FindLower2UpperCorners()
{
    Vector3[] corners_upper = GetCorners(upperDistance);
    Vector3[] corners_lower = GetCorners(lowerDistance);

    Debug.DrawLine(corners_lower[0], corners_upper[0], Color.blue);
    Debug.DrawLine(corners_lower[1], corners_upper[1], Color.blue);
    Debug.DrawLine(corners_lower[2], corners_upper[2], Color.blue);
    Debug.DrawLine(corners_lower[3], corners_upper[3], Color.blue);
}

 

挂接这个CameraViewEx.cs脚本到Camera组件同GameObject即可, 运行时有效:

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源码下载地址:http://git.oschina.net/xifarm/VR_Mojing/

 

备注:

不用这个脚本,直接在Game视图,打开Gizmos也可以看到Unity自带的Camera视口区域锥体。

C#程序员整理的Unity 3D笔记(十):Unity3D的位移、旋转的3D数学模型

遇到一个想做的功能,但是实现不了,核心原因是因为对U3D的3D数学概念没有灵活吃透。故再次系统学习之—第三次学习3D数学.

 

本次,希望实现的功能很简单:

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如在小地图中,希望可以动态画出Player当前的位置、z的朝向:用3条线、z轴正向、30°旋转、-30°旋转。

问题是:0点可以获得,P1点? P2点是未知的。

我尝试了2个小时,结果不竟如人意,少于沮丧。

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不得不,再次花点时间系统的学习3D数学:

1 位移–向量和点:

  •    点: 点和向量在数学上是一致的,实际生活中点的概念比较好理解,坐标点来定位–南二环、北二环。   【点用(3,4,5)圆括号来标示,简称P】
  •    向量:“俗称增量”,有大小和方向,如”往前1步走。 左转90度”. 往前走,直到碰到墙,你才会停下来—在这之前,你无法准确获得碰到墙的点的坐标或者你和墙的距离                                              【向量用<3,4,5>尖括号来标示,简称V】
  • 在U3D中,统一用Vector3对象来表达向量和点,这个也是导致新手晕头转向的一个很重要的原因; 一个技巧,凡是在API中用position、Point的,V3肯定代表是点;凡是Vector、direction的是向量;多看官方的API手册,写得很明白。

做个游戏,列表出你用过的Vector3的API,分析分析用到的Vector3是向量(V)还是点(P)

需求

API

向量(V)

(P)

备注

平滑位移

Vector3 MoveTowards(Vector3 current, Vector3 target, float maxDistanceDelta);

P

 

平滑位移

Vector3 Slerp(Vector3 from, Vector3 to, float t)

P

 

新的坐标点

this.m_transform.position = pos;

P

符合常规思维

变动一次坐标

m_transform.Translate(new Vector3(rx, 0, -m_Speed * Time.deltaTime));

V

可认为是增量

求方向

Vector3 relativePos = this.m_transform.position – m_Player.position;

V

向量减法,较难理解

设置新坐标点

lineRenderer.SetPosition(0,this.gameObject.transform.position);

m_NavAgent.SetDestination(this.m_Player.transform.position);

P

符合常规思维

新的位置

pointer.transform.position = hitInfo.point + (transform.position – hitInfo.point) * 0.01f;

P、V

力的叠加?

求距离

float dis = Vector3.Distance(v1, v2);

float f1 = (v1 – v2).sqrMagnitude;

float f3 = (v1 – v2).magnitude;

P、V

Distance用点即可

向量减法也可以

缩放正向

Vector3 v3 = this.m_transform.forward * 200f;

V

V的数乘

射线检测

Ray r = new Ray(source, dest);

Physics.Raycast(r, out hit, 1000, m_ShootMask)

V、P

Source:P

Dest:V

加一个力

rigidbody.AddForce (0, 10, 0);

V

 

 

依据这个游戏,可以整理出目前用到的有4个组件(含Vector 3)会发生位移:

位移常用的4个组件和Vector3

组件

函数

Unity 圣典的API说明

是否

用过

transform组件

translate函数

向某方向移动物体多少距离【默认local坐标系】

或者相对某物体移动

yes

 

Position属性

在世界空间坐标transform的位置

Yes

RigidBody组件

[FixedUpdate函数]

Velocity属性

刚体的速度向量

Unity 官方demo Done用的很酷

Yes

 

AddForce函数

添加一个力到刚体。作为结果刚体将开始移动。

yes

 

MovePosition函数

移动刚体到position

 

NavMeshAgent组件

SetDestination函数

设置自动Path目标点

yes

CharacterController

组件

Move函数

一个更加复杂的运动函数,每次都绝对运动

yes

 

SimpleMove函数

以一定的速度移动角色

 

Vector3向量

Lerp函数

两个向量之间的线性插值。

“像弹簧一个跟随目标物体”

 
 

Slerp函数

球形插值在两个向量之间

“在日出和日落之间动画弧线”

 
 

MoveToward函数

当前的地点移向目标

和Vector3.Lerp相同,maxDistanceDelta限速

 
 

SmoothDamp 函数

随着时间的推移,逐渐改变一个向量朝向预期的目标。

 

 

我的几个向量相关的问题:

  • 如何判断A向量和B向量是否同方向?
  • 如何判断A向量和B向量前、后、左、右?
  • 如何判断A向量和B向量的夹角?
  • 向量的减法貌似比加法更有用一些?
  • Vector.Forward和this.transform.Forward都表达local坐标系,那么数值为什么不一样呢?

 

2 旋转–Quaternion、eulerAngles、Quaternion.Euler

  

旋转在3D中是比较复杂的,在Unity 3D中一般用Quaternion来进行旋转, 旋转仅涉及向量的概念(向量的方向),请思考对于坐标点或者零向量旋转有无意义?

而按照Unity 3D API官方的说法,仅有约7个方法或者操作符比较常用,且占99%的概率,我截止目前还没有用到这么多,我用到的Quaterniong约有4个函数。

旋转常用7个API:

Quaternion API

Unity 圣典的API说明

是否

用过

Quaternion.LookRotation

创建一个旋转,沿着forward(z轴)并且头部沿着upwards(y轴)的约束注视。也就是建立一个旋转,使z轴朝向y轴朝向up。 常用的是transform.LookAt

yes

Quaternion.Angle

返回a和b两者之间的角度。

 

Quaternion.Euler

返回一个旋转角度,绕z轴旋转z度,绕x轴旋转x度,绕y轴旋转y度(像这样的顺序)。

yes

Quaternion.Slerp

球形插值,通过t值from向to之间插值。

 

Quaternion.FromToRotation

从fromDirection到toDirection创建一个旋转。

 

Quaternion.identity

返回恒等式旋转(只读)。这个四元数对于“无旋转”:这个物体完全对齐于世界或父轴。

yes

Quaternion.operator *

由另一个四元数来旋转一个旋转角度,或由一个旋转角度来旋转一个向量

yes

 

我的几个旋转相关的问题:

1 Quaternion.LookRotation和Vector3.RotateTowards的区别?

2 Quaternion.Angle和Vector3.Angle的区别?

3 Quaternion.LookRotation和transform.LookAt的区别?

[官方回答:   大多数时间你可以使用transform.LookAt代替

                  Quaternion.LookRotation]

4 如何实现2个GameObject face to face,即Z轴相对?

 

 

 

磨刀不误砍柴工: 经过一周的复习、反复验证,果然在系统学习3D 数学后,要实现的功能可以了,如下:

image

 

参考博客:

坐标系的简介:C#程序员整理的Unity 3D笔记(八):Unity 3D坐标系介绍

宣雨松的博客:http://www.xuanyusong.com/archives/1977

总结:

据说80%、90%Unity 3D程序员是自学的,大多数是看看书、实战视频、源码分析;而科班出生的同学会有3D数学这门核心课–估计占一个学期、会有作业等。为了赶上科班同学的水平,花点时间,补补数学知识,会使得自己少走一些弯路。一句话:”3D数学模型很关键。“